隐式与显式：该如何选择？

     对于有限元求解方法，我们知道有隐式和显式两种，至于两者的区别相信大家都已了然。那么我们实际建模时，首先要考虑的一个问题就是采用哪个求解器合适？解算器类型会影响方程的求解、某些功能的可用性、运行时间，甚至是否获能顺利计算。因此，这一点很重要。在这我将解释Abaqus可用的两个解算器之间的区别，他们的优点和缺点，以及何时选择哪个。最后，会举一个简单的例子来说明。

       当我们谈论在 fea 中的隐含或显式时，我们谈论的是时间增量的算法。在这两种情况下，模型的状态在多个时间点计算，新状态根据旧状态计算。使用显式算法，可以直接从当前状态中可用的数据计算新状态。采用隐式算法，新状态不能直接从旧状态计算：必须求解方程的耦合系统。这需要非线性解决方案算法，通常是采用牛顿-拉普森方法。

        显式算法直接时间积分实现的，计算是直截了当的和快速的。但是，时间增量不能太大，否求解过程不稳定，结果误差呈指数级增长。我们把它看作是一种推断，这是有道理的：推断远远超出已知范围往往会给出错误的结果，特别是误差累加效益会导致错误的判读。可使用的最大时间增量由 Abaqus 自动计算，它被称为稳定时间增量。稳定的时间增量随着单元尺寸的缩小、密度的降低和刚度的提高而减少。具有最小稳定时间增量的元素决定了整个分析的时间增量;因此，单个形状不好的元素会极大地影响模拟时间。在整个分析过程中，稳定的时间增量通常是大致恒定的，因此，一旦完成第一个增量，就可以估计运行分析所需的时间。

       隐式的计算成本要大得多，因为需要解决方程系统的问题。对于非线性分析，这甚至需要多次迭代才能完成。因此，采用隐式算法需要更多的时间和内存。另一方面，时间增量大小不受稳定性问题的限制。这通常允许比显式算法更大的时间增量。Abaqus中的增量大小通常由自动确定，基于牛顿-拉普森法的收敛程度。在整个分析过程中，情况可能不一样。问题非线性越强，找到收敛解的计算成本就越高。

图1  显式和隐式时间增量

因此，在"显式"和"隐式"之间进行选择通常是在许多小增量和较少较大的增量之间进行选择。

隐式

显式

时间增量非常小

非线性问题增量大小变化很大

大约恒定的增量大小

        Abaqus隐式求解器可以解决静态平衡：力之和为零的状态，也可以包括动态问题。如果不包括动态效应，则必须是静态平衡的系统。在静态分析中，内部能量不能转换为动能。如果需要这一点来获得平衡，那么隐性解算器就无法在没有帮助的情况下找到解决方案，例如应用阻尼的形式。

 Abaqus显式总是计算动态平衡：力 = 质量 x 加速度。与静态隐性分析相比，显式分析中的振动更多，结果更具振荡性。时间有物理意义，加载速率很重要。加载速率不影响稳定的时间增量。人为增大加载速率是通过增加质量来增加稳定的时间增量，这称为质量缩放，过多的大规模缩放会导致不必要的动态效应。

      Abaqus中，某些功能只能在隐式中应用，而另一些只能在显式中应用，具体如下表所示。

Abaqus/Standard

Abaqus/Explicit

除力学和热力（如声学）以外的其他分析类型

CEL（耦合欧莱安 拉格朗吉安）

更高阶元素

SPH（平滑粒子流体动力学

频率分析

DEM（离散元方法）

X-FEM（扩展有限元方法）

压力穿透

总的来说，Abaqus/Standard更有利于缓慢和相对线性的问题，而Abaqus/Explicit更有利于高速和强非线性的问题。

通常，大多数挑战都发生在缓慢且极非线性的问题上：应该用Standard还是Abaqus/Explicit来解决这些问题吗？这个问题并不总是有一个容易的答案：Abaqus/Standard将会有收敛问题，而Abaqus/Explicit将需要很长时间或得到振荡的的结果。应用质量缩放可能有助于减少显式中所需的时间。通常可以首先尝试Abaqus/Standard，如果收敛太麻烦，则改用Abaqus/Explicit，而不必再次设置整个模型。

例如，模拟了圆柱的屈曲。这个简单的示例显示了隐式和显式的优势。

模拟空心圆柱壳（用壳单元建模）（图2），它长500mm，直径100mm，厚度0.5mm。顶部和底部都使用运动耦合连接到参考点。底部点完全约束，在顶点施加100mm 的向下位移。

图2：分析设置

在Abaqus/Standard中，分析1 s时长。在 Abaqus/Explicit中，设置 1 s 的时长或 0.1 s 的时长。我们将看看是否能顺利求解，获得解决方案所需的时间、变形和反力。

Abaqus/Standard分析未完成：在大约 12.5% 的时间内，由于收敛问题而停止。Explicit却求解完成。求解用时详细情况如下表。

Standard

Explicit（参考）

Explicit（缩放）

完成分析的百分比

12

100

100

大约模拟时间

1.5  分钟

1 小时

6 分钟

变形在模拟总时间的 10%内都是相似：

图3：加载10%的变形：隐式（左），显式（中）和显式（缩放）

随着分析的继续，它们都表现出屈曲的行为，尽管它并不完全相同：

这种扭曲行为导致隐式分析中的不收敛，使用 Riks 分析可能会对这里有所帮助。

在所有情况下，反力趋势都相似（图4）。与Standard分析相比，显式分析的力更具振荡性，需要过滤才能获得合理的值。

图4：反力曲线

当加载更快时，动能更大（图5）。这在屈曲点后是明显的。

图5：动能曲线

        Abaqus/Standard和Abaqus/Explicit各有优缺点。Abaqus/Standard非常善于快速解决时间较长的线性非线性问题，同时也可能不能求解非线性极强问题。另一方面，Abaqus/Explicit擅长于短时间的强非线性问题。对于具有较长时间过程的问题，却是令人望而却步。获得的解振动较多也可能是个问题。

        圆柱屈曲简单示例证实了这一点：在发生屈曲前，Standard可以快速求解，这是一个静态的求解方法，力曲线是漂亮和光滑的。在开始屈曲之后，Standard就再也找不到解决办法了。另一方面，采用Abaqus/Explicit分析继续进行，没有困难。在这种情况下，力曲线噪音较大，震荡明显。通过在显式分析中采用质量缩放，可以减少模拟时间。这也带来了更显著的动态效应，可能观察到更震荡的力和更高的动能。